Tích Phân Là Gì? Phương Pháp Tính Tích Phân Và Các Dạng Toán Cơ Bản

Tích phân là gì

1. Điểm là gì?

Tích phân là một khái niệm thường được sử dụng trong toán học lớp 12 và đối ứng của nó là phân thức. Họ có một vai trò quan trọng như là hai hoạt động cơ bản là chìa khóa cho lĩnh vực phân tích. Trong tiếng Hán và tiếng Việt, tích được hiểu là tích, phân được hiểu là từng phần nhỏ. Vậy ta có thể hiểu đơn giản tích phân là tổng của nhiều phần nhỏ. Trong toán học, tích phân được định nghĩa như sau:

Vì hàm số f(x) liên tục trên khoảng xác định (kí hiệu: k) nên a, b là hai số thực bất kỳ thuộc k. Nếu f(x) là một nguyên hàm của f(x) thì hiệu của f(b) – f(a) được gọi là tích phân của f(x) trên khoảng (a,b). Từ đó, ta có kí hiệu sau:

Tích phân của f(x) từ a đến b được biểu diễn dưới dạng: $int_{a}^{b}f(x)dx$

Ta có: $int_{a}^{b}f(x)dx=f(b)-f(a)$ (trong đó f(x) là nguyên hàm của f(x))

p>

Ở đó

  • ∫: điểm

  • dx: Biến tích hợp.

  • f(x)dx: biểu thức dưới tích phân

    2. Tính chất của tích phân xác định

    Để nắm vững phương pháp tích phân giải toán, chúng ta cùng tìm hiểu một số tính chất của tích phân thường gặp nhé!

    (1) Tích phân của biến tại giá trị xác định bằng 0

    $int_{a}^{a}f(x)=0$

    (2) lùi, đổi số

    $int_{a}^{b}f(x)dx=-int_{b}^{a}f(x)dx$

    (3) Các hằng số trong tích phân có thể lấy ngoài dấu tích phân

    $int_{b}^{a}k times f(x)dx=ktimesint_{a}^{b}f(x)dx$

    (4) Tổng các tích phân bằng tổng các tích phân

    $int_{a}^{b}[f_{1}(x)pm f_{2}(x)pm…pm f_{n}(x)]dx=int_{ a}^{b}f_{1}(x)dxpmint_{a}^{b}f_{2}(x)dxpm…pmint_{a}^{b}f_ {n}(x)dx$

    (5) Nhân đôi điểm

    $forall gamma in [a,b]rightarrow int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{gamma}f(x)dx+int_{ Gamma}^{b}f(x)dx$

    (6) So sánh giá trị tích phân

    • $f(x)geq 0$ trong đoạn $[a,b]rightarrow int_{a}^{b}f(x)dxgeq 0$
    • $f(x)geq g(x)$ in $[a,b] rightarrow int_{a}^{b}f(x)dxgeq int_{a}^{b} g (x)dx$
    • $mleq f(x)leq m$ in $[a,b]rightarrow m(b-a)leq int_{a}^{b}f(x)dxleq m( b-a) )$
    • Còn một số tính chất tích phân xác định thường gặp trong các kỳ thi mà không thể bỏ qua:

      Tính chất của tích phân

      3. Bảng công thức tích phân cơ bản 12 học sinh phải thuộc lòng

      Để làm được các dạng bài tập tích phân, bạn cần lưu và học thuộc ngay bảng công thức sau:

      Bảng công thức tích phân cơ bản

      4. Các phương pháp giải bài toán tích phân

      4.1. Tích hợp một phần

      Nếu u(x) là hàm có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì ta có:

      $int_{a}^{b}u(x)v'(x)dc=(u(x)v(x))left|begin{matrix}b\a end{matrix }Chính xác. -int_{a}^{b}v(x)u'(x)dx$

      hoặc $int_{a}^{b}udv=uvleft|begin{matrix}b\aend{matrix}right. – int_{b}^{a}vdu$

      Áp dụng công thức trên ta có quy tắc tính $int_{a}^{b}f(x)dx$ theo phương pháp tích phân từng phần như sau:

      Bước đầu tiên: viết f(x)dx dưới dạng udv = uv’dx, chọn một phần nguyên của f(x) là u(x) và phần còn lại dv=v'(x)dx

      Bước 2: Tính du=u’dx và $u=int dv=int v'(x)dx$

      Bước 3: Tính $int_{a}^{b}vdu = int_{a}^{b}vu’dx$ và uv$left|begin{matrix}b\aend { matrix}right.$

      Bước 4: Áp dụng công thức $int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{b}uvd=uvleft|begin{matrix} b\a kết thúc {ma trận}right.-int_{a}^{b}vdu$

      4.2. Giải quyết vấn đề tích hợp thông qua phân tích

      Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, công thức tương tự có thể được sử dụng để chuyển biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng, như sau:

      Ví dụ: tích phân $i= int_{2}^{2}frac{x^{2}-2x}{3}dx$

      Giải pháp:

      Ta có: $i=int_{1}^{2}(frac{1}{x}-frac{2}{x^{2}})dx=(lnleft | x Right|+frac{2}{x})left|begin{matrix} 2\1 end{matrix}right.=(ln2+1)-(ln1+2)=ln2-1$

      4.3. Phương pháp tích phân biến

      Với phương pháp biến đổi có 2 dạng, mỗi dạng là một phép tính khác nhau. Cụ thể là:

      Mẫu 1:

      Để tính tích phân: $i=int_{a}^{b}g(x)dx$, chúng ta thực hiện các bước sau:

      Bước 1: Chọn một biến:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *