1. Điểm là gì?
Tích phân là một khái niệm thường được sử dụng trong toán học lớp 12 và đối ứng của nó là phân thức. Họ có một vai trò quan trọng như là hai hoạt động cơ bản là chìa khóa cho lĩnh vực phân tích. Trong tiếng Hán và tiếng Việt, tích được hiểu là tích, phân được hiểu là từng phần nhỏ. Vậy ta có thể hiểu đơn giản tích phân là tổng của nhiều phần nhỏ. Trong toán học, tích phân được định nghĩa như sau:
Vì hàm số f(x) liên tục trên khoảng xác định (kí hiệu: k) nên a, b là hai số thực bất kỳ thuộc k. Nếu f(x) là một nguyên hàm của f(x) thì hiệu của f(b) – f(a) được gọi là tích phân của f(x) trên khoảng (a,b). Từ đó, ta có kí hiệu sau:
Tích phân của f(x) từ a đến b được biểu diễn dưới dạng: $int_{a}^{b}f(x)dx$
Ta có: $int_{a}^{b}f(x)dx=f(b)-f(a)$ (trong đó f(x) là nguyên hàm của f(x))
p>
Ở đó
-
∫: điểm
-
dx: Biến tích hợp.
-
f(x)dx: biểu thức dưới tích phân
2. Tính chất của tích phân xác định
Để nắm vững phương pháp tích phân giải toán, chúng ta cùng tìm hiểu một số tính chất của tích phân thường gặp nhé!
(1) Tích phân của biến tại giá trị xác định bằng 0
$int_{a}^{a}f(x)=0$
(2) lùi, đổi số
$int_{a}^{b}f(x)dx=-int_{b}^{a}f(x)dx$
(3) Các hằng số trong tích phân có thể lấy ngoài dấu tích phân
$int_{b}^{a}k times f(x)dx=ktimesint_{a}^{b}f(x)dx$
(4) Tổng các tích phân bằng tổng các tích phân
$int_{a}^{b}[f_{1}(x)pm f_{2}(x)pm…pm f_{n}(x)]dx=int_{ a}^{b}f_{1}(x)dxpmint_{a}^{b}f_{2}(x)dxpm…pmint_{a}^{b}f_ {n}(x)dx$
(5) Nhân đôi điểm
$forall gamma in [a,b]rightarrow int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{gamma}f(x)dx+int_{ Gamma}^{b}f(x)dx$
(6) So sánh giá trị tích phân
- $f(x)geq 0$ trong đoạn $[a,b]rightarrow int_{a}^{b}f(x)dxgeq 0$
- $f(x)geq g(x)$ in $[a,b] rightarrow int_{a}^{b}f(x)dxgeq int_{a}^{b} g (x)dx$
- $mleq f(x)leq m$ in $[a,b]rightarrow m(b-a)leq int_{a}^{b}f(x)dxleq m( b-a) )$
- Phân tích g(x)dx=f[u(x)]u'(x)dx=f[u(x)]d[u(x)]
- Cho u = u(x)
- Với x=a thì u = u(a)
- với x=b thì u=u(b)
- Các dạng cơ bản và bài tập về điểm thế năng
- Cách kết hợp lượng giác với chi tiết và bài tập
- Bài tập và phương pháp giải phương trình logarit đầy đủ, chi tiết
- Lý thuyết phương trình logarit cơ bản
- Công thức một số nguyên hàm và cách giải bài tập
- Tính toán nguyên hàm tanx bằng các công thức tuyệt vời
- Tích phân theo từng phần: Phép tính, ví dụ và bài tập
Còn một số tính chất tích phân xác định thường gặp trong các kỳ thi mà không thể bỏ qua:
3. Bảng công thức tích phân cơ bản 12 học sinh phải thuộc lòng
Để làm được các dạng bài tập tích phân, bạn cần lưu và học thuộc ngay bảng công thức sau:
4. Các phương pháp giải bài toán tích phân
4.1. Tích hợp một phần
Nếu u(x) là hàm có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì ta có:
$int_{a}^{b}u(x)v'(x)dc=(u(x)v(x))left|begin{matrix}b\a end{matrix }Chính xác. -int_{a}^{b}v(x)u'(x)dx$
hoặc $int_{a}^{b}udv=uvleft|begin{matrix}b\aend{matrix}right. – int_{b}^{a}vdu$
Áp dụng công thức trên ta có quy tắc tính $int_{a}^{b}f(x)dx$ theo phương pháp tích phân từng phần như sau:
Bước đầu tiên: viết f(x)dx dưới dạng udv = uv’dx, chọn một phần nguyên của f(x) là u(x) và phần còn lại dv=v'(x)dx
Bước 2: Tính du=u’dx và $u=int dv=int v'(x)dx$
Bước 3: Tính $int_{a}^{b}vdu = int_{a}^{b}vu’dx$ và uv$left|begin{matrix}b\aend { matrix}right.$
Bước 4: Áp dụng công thức $int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{b}uvd=uvleft|begin{matrix} b\a kết thúc {ma trận}right.-int_{a}^{b}vdu$
4.2. Giải quyết vấn đề tích hợp thông qua phân tích
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, công thức tương tự có thể được sử dụng để chuyển biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng, như sau:
Ví dụ: tích phân $i= int_{2}^{2}frac{x^{2}-2x}{3}dx$
Giải pháp:
Ta có: $i=int_{1}^{2}(frac{1}{x}-frac{2}{x^{2}})dx=(lnleft | x Right|+frac{2}{x})left|begin{matrix} 2\1 end{matrix}right.=(ln2+1)-(ln1+2)=ln2-1$
4.3. Phương pháp tích phân biến
Với phương pháp biến đổi có 2 dạng, mỗi dạng là một phép tính khác nhau. Cụ thể là:
Mẫu 1:
Để tính tích phân: $i=int_{a}^{b}g(x)dx$, chúng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Chọn một biến:
Bước thứ hai: thực hiện biến đổi ranh giới
Bước 3: Sau đó, chúng ta có $int_{a}^{b}g(x)dx=int_{u^{(a)}}^{u^{b}}f(u)du $
Mẫu 2:
Để tính tích phân: $i=int_{a}^{b}f(x)dx$ có hàm f(x) liên tục trên [a;b], ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Chọn $x=varphi (t)$, trong đó $varphi (t)$ nằm trong tập xác định của f.
Bước thứ hai: Giả sử rằng $varphi ‘(t)$ là liên tục, vi phân dx = dx =$varphi (t)dt$
Bước 3: Tại đây, bạn có thể chọn 1 trong 2 cách sau:
– Phương pháp 1: Tính các ranh giới $alpha$ và $beta$ trên a và b tương ứng (các điều kiện $a=varphi (alpha$ và $b=varphi (beta )$), rồi sau đó chúng tôi nhận được: $i=int_{alpha }^{beta }f(varphi (t).varphi (t)dt$
– Cách 2: Tính giá trị của tích phân xác định bằng cách xác định nguyên hàm (lúc này $alpha$ phải là đồ thị đơn để biểu diễn kết quả của hàm t dưới dạng hàm của x)
a) $i=int_{1}^{1/2}f(x)dx$, tùy chọn ẩn phụ x=sint và $-frac{pi }{2}leq t leq frac{pi }{2}$, chúng ta có thể sử dụng phương pháp 1, vì bây giờ với x=0, chúng ta có t=0, với $x=frac{1}{2}$, chúng ta có $t = frac { pi }{6}$
b) $i=int_{1}^{1/3}f(x)dx$, tùy chọn ẩn phụ x=sint và $-frac{pi }{2}leq t leq frac{pi }{2}$, chúng ta có thể làm theo cách 2, vì lúc này $x=frac{1}{3}$ sẽ không hiển thị số đo của góc t.
4.4. Khác biệt hóa
Vi phân của hàm số y=f(x) được ký hiệu là dy và được cho bởi dy=df(x)=y’dx=f'(x)dx
Một số công thức vi phân quan trọng cần nhớ:
(1) $dx=frac{1}{a}d(axpm b)=frac{-1}{a}d(bpm ax)$
(2) $xdx=frac{1}{2}d(x^{2}=frac{1}{2a}d(ax^{2}pm b)=-frac{1 }{2a}d(bpm ax^{2})$
(3) $x^{2}dx=frac{1}{3}d(x^{3}pm b)=frac{-1}{3a}d(bpm ax^ ) {3})$
(4) $sin x=-d(cosx)=frac{-1}{a}d(a cos xpm b)$
(5) $cos xdx=d(sinx)=frac{1}{a}d(asin xpm b)$
(6) $frac{dx}{cos^{2}x}=d(tanx)=frac{1}{a}d(tan xpm b)$
(7) $frac{dx}{sin^{2}x}=-d(cotx)=frac{-1}{a}d(acotxpm b)$
(8) $frac{dx}{2sqrt{x}}=d(sqrt{x})=frac{1}{a}d(asqrt{x}pm b) =frac{-1}{a}d(bpm asqrt{x})$
(9) $e^{x}dx=d(e^{x})=frac{1}{a}d(ae^{x}pm b)=frac{-1}{ a}d(bpm ae^{x})$
(10) $frac{dx}{x}=d(lnx)=frac{1}{ad(alnxpm b)}=frac{-1}{a}d(bpm alnx)$
>>Xem thêm:
5. Tổ hợp các phương pháp cho bài tập nâng cao
Khi bạn đã thành thạo phương pháp giải các bài toán tích phân, đây là một vài ví dụ:
Để ôn tập các bài về tích phân, các em hãy cùng thầy Thành Đức Trung ôn tập và luyện tập tích phân nhé! Trong video này thầy Trung sẽ có nhiều giải pháp hay để phân tích nhanh ánh sáng phân cực của máy ảnh Casio.
Trên đây là toàn bộ công thức và các dạng câu hỏi tích phân thường gặp. Tuy nhiên, nếu muốn đạt điểm cao, hãy ôn thật nhiều công thức toán 12 và làm các dạng câu hỏi khác. Các bạn có thể truy cập vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề nhé! Chúc các em đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi vào THPT sắp tới.
>>Xem thêm:
